Matemática · 6.º grado
Ángulos: cuánto se abre, cuánto gira
Cuando un skater da media vuelta en el aire, dice que hizo «un 180». Si da la vuelta entera, «un 360». Y cuando la pelota entra justo en la esquina del arco, el relator grita «¡la clavó en el ángulo!». Todos están hablando de lo mismo: ángulos. En esta clase vas a aprender a medirlos con el transportador (sin caer en su trampa más famosa), a ponerles nombre y a descubrir un secreto que cumplen todos los triángulos del mundo.
- Medir cualquier ángulo con el transportador.
- Clasificarlo de un vistazo, de nulo a completo.
- Calcular un ángulo que falta sin medirlo.
Una abertura… y también un giro
Fijate en una tijera, en las agujas de un reloj o en una puerta que se abre: siempre hay un punto fijo y dos «brazos» que se separan. Eso es un ángulo.
Un ángulo es la figura que forman dos semirrectas que salen del mismo punto. Ese punto es el vértice y las semirrectas son los lados. Lo que se mide es la abertura: cuánto se separa un lado del otro.
La segunda mirada sirve muchísimo: imaginá que un lado empieza encima del otro y gira alrededor del vértice, como la aguja de un reloj. El ángulo es cuánto giró. Por eso el skater que da media vuelta dice «hice un 180»: está midiendo su giro.
Para nombrar un ángulo se usa una letra griega, como α (alfa) o β (beta), o tres letras con la del vértice en el medio y un sombrerito: AÔB.
El grado: la vuelta entera partida en 360
Para medir giros, la vuelta completa se divide en 360 partes iguales. Cada una es un grado y se escribe con un circulito arriba: 1°. Entonces, media vuelta mide 180°, un cuarto de vuelta mide 90° y la vuelta entera, 360°.
¿Por qué 360 y no 100? La costumbre viene de los antiguos babilonios, que contaban de 60 en 60. Y además 360 es un número comodísimo: se puede dividir justo por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20… Por eso un tercio de vuelta mide justo 120° y un octavo, justo 45°. Si ya hiciste la clase de Latitud y longitud, conocés estos grados: la latitud de Buenos Aires (unos 34,6° S) es un ángulo medido desde el centro de la Tierra.
Error típico 1
«Lados largos, ángulo grande»
Los lados de un ángulo son semirrectas: en realidad no terminan nunca. El largo con que los dibujamos es solo una cuestión de lugar en la hoja. Si alargás los lados del A, su abertura sigue siendo la misma: 25°. Tampoco importa el tamaño del arquito con que se marca el ángulo. Lo único que se mide es la abertura.
Siete ángulos con nombre
Para clasificar un ángulo no hace falta medirlo: alcanza con compararlo con dos ángulos que funcionan como vara. El recto (90°, la esquina de una hoja) y el llano (180°, una línea recta).
«Entre 0° y 90°» quiere decir más de 0° y menos de 90°: el 90 justo ya es recto. Los ángulos de menos de 180° se llaman convexos; los de más de 180°, cóncavos.
Ángulos que ya conocés
- Recto. El palo y el travesaño del arco: por eso «la clavó en el ángulo». También las esquinas de una baldosa: cuatro rectos alrededor de un punto suman 4 × 90° = 360°, una vuelta entera, y por eso encajan sin dejar huecos (lo viste en Área y perímetro).
- Agudo. Una rampa para silla de ruedas forma con el piso un ángulo agudo chiquito, de pocos grados. Si fuera de 45°, nadie podría subirla.
- Obtuso. El respaldo de una reposera bien reclinada, o una puerta que abriste «de más».
- Llano. Las agujas del reloj a las 6 en punto: forman una línea recta.
Error típico 2
«Recto» no quiere decir «parado»
«Vertical» es una dirección: la del hilo de una plomada. «Recto» es una medida: 90° entre los dos lados. Una escuadra inclinada sigue teniendo su ángulo recto, y un lado vertical no garantiza nada. Para comprobarlo, apoyá la esquina de una hoja (o de tu celular) en el vértice: si los dos lados coinciden con los bordes, es recto.
Laboratorio · el reloj de ángulos
Entre dos números seguidos del reloj hay 360° ÷ 12 = 30°. Elegí una hora en punto y mirá qué ángulo forman las agujas.
A las 2 en punto, la aguja corta está a 2 espacios del 12: 2 × 30° = 60°. Es un ángulo agudo.
Misión: encontrá las dos horas en punto en que las agujas forman un ángulo recto. Encontradas: 0 de 2.
El transportador y su trampa
El transportador es la regla de los ángulos: un semicírculo con rayitas de 0° a 180°. Tiene un detalle que confunde a todo el mundo: dos escalas. La de afuera (acá, naranja) arranca en 0 a la izquierda; la de adentro (verde) arranca en 0 a la derecha. Por eso, donde cruza un lado siempre hay dos números que suman 180, y solo uno es el bueno.
- Estimá primero. Compará con un recto: ¿es agudo u obtuso? Así ya sabés si el número tiene que ser menor o mayor que 90.
- Centro en el vértice. El puntito o la crucecita del medio del borde recto va justo encima del vértice.
- El 0 sobre un lado. Girá el transportador hasta que la línea del 0 quede sobre uno de los lados.
- Leé desde ese 0. Seguí la escala que empieza en el 0 de ese lado hasta donde la corta el otro lado.
Ejemplo resuelto
¿Mide 40° o 140°?
- Estimo. El ángulo es más cerrado que la esquina de una hoja: es agudo, así que tiene que medir menos de 90°.
- ¿Qué escala? El lado fijo va hacia la derecha. La escala que tiene su 0 a la derecha es la verde, la de adentro.
- Leo. El otro lado cruza la verde en 40 y la naranja en 140. Me quedo con la verde: 40°. Y coincide con mi estimación.
- ¿Y el 140? Es lo que mide el ángulo de al lado, el que completa la media vuelta: 40° + 140° = 180°.
Errores típicos 3 y 4
Leer la escala equivocada y correr el centro
La escala equivocada es el error más común: anotar 140° en vez de 40°, o al revés. El antídoto es estimar antes: si el ángulo es agudo y leíste un número mayor que 90, leíste la otra escala.
El centro corrido: si el centro del transportador no está justo sobre el vértice, el lado cruza la escala en cualquier lugar y el número no significa nada. Antes de leer, revisá los dos apoyos: centro en el vértice y 0 sobre un lado.
Laboratorio · transportador virtual
Arrastrá el punto violeta (o usá los botones) para abrir el ángulo. Probá dar vuelta el ángulo y mirá qué escala hay que leer. Si te pasás de 180°, fijate cómo se mide un cóncavo.
40° agudo
Ángulo 1 de 6
Paso 1 · Estimá. ¿Qué tipo de ángulo es?
Paso 2 · Medí con la lupa y escribí la medida.
Parejas de ángulos: uno delata al otro
Muchas veces no hace falta medir: si dos ángulos forman una pareja especial, sabiendo uno conocés el otro.
Un truco para no mezclarlos: la C de complementarios viene antes que la S de suplementarios, igual que 90 viene antes que 180.
¿Por qué los opuestos por el vértice son iguales?
Mirá la tijera de arriba. α y β están sobre una misma recta: son adyacentes, así que α + β = 180°. Pero β y γ también: β + γ = 180°. Si a 180° le sacás el mismo β, en los dos casos te queda lo mismo. Entonces α = γ. No hizo falta medir nada: lo probamos razonando.
Ejemplo resuelto
Dos rectas se cruzan y un ángulo mide 65°
- El opuesto al de 65° es igual: 65°.
- Los de al lado son adyacentes al de 65°: 180° − 65° = 115° cada uno (y son opuestos entre sí, así que son iguales).
- Control. Los cuatro juntos dan la vuelta entera: 65° + 115° + 65° + 115° = 360°. Da justo.
El secreto de todos los triángulos
Dibujá un triángulo cualquiera: flaquito, gordito, con un ángulo recto, el que quieras. Medí sus tres ángulos interiores y sumalos. Siempre da 180°. ¿Casualidad? Hay una prueba que podés hacer con una hoja y una tijera: recortás el triángulo, pintás sus tres esquinas, las cortás y las juntás con las puntas en el mismo lugar, una al lado de la otra.
Laboratorio · recortá y juntá
Las tres esquinas, una al lado de la otra, forman siempre una línea recta: un ángulo llano. Y un llano mide 180°. ¿Por qué pasa siempre? Fijate en el laboratorio: las esquinas de abajo solo se deslizan, y la de arriba da media vuelta y encaja justo en el hueco que queda entre las otras dos. Eso pasa con cualquier triángulo.
Ejemplo resuelto
El ángulo que falta
Un triángulo tiene ángulos de 35° y 80°. ¿Cuánto mide el tercero?
- Sumo los que conozco: 35° + 80° = 115°.
- Resto de 180°, porque los tres juntos tienen que dar 180°: 180° − 115° = 65°.
- Control: 35° + 80° + 65° = 180°. Da justo.
- Un triángulo no puede tener dos ángulos rectos: 90° + 90° ya es 180° y no queda nada para el tercero.
- Tampoco puede tener dos obtusos: se pasarían de 180°.
- Si tiene un ángulo recto se llama triángulo rectángulo: es el protagonista del Teorema de Pitágoras, que vas a ver en 2.º año.
Taller: diez desafíos con pistas
Si te equivocás, vas a recibir una pista sobre ese error. Usala y probá de nuevo. Resueltos: 0 de 10.
1¿Cuál de los dos ángulos es mayor?
2Tocá los ángulos en orden, de menor a mayor.
Tu orden: —
3Cazá los rectos: tocá todos los ángulos rectos (hay más de uno). Si dudás, compará con la esquina de una hoja.
4¿Cuánto mide el ángulo violeta?
5¿Cuál es el complemento de un ángulo de 35°?
6¿Cuánto mide el ángulo marcado con «?»?
7Dos rectas se cruzan. ¿Cuánto mide el ángulo opuesto por el vértice al de 70°?
8Un triángulo tiene un ángulo de 48° y otro de 67°. ¿Cuánto mide el tercero?
9Verdadero o falso, con su porqué: «Un triángulo puede tener dos ángulos obtusos».
10Desafío finalA las 3 en punto las agujas forman un ángulo recto. ¿Y a las 3 y media? ¿Cuánto mide el ángulo marcado?
Para llevarte
| Pareja o figura | Lo que cumple |
|---|---|
| Complementarios | suman 90° |
| Suplementarios | suman 180° |
| Adyacentes | forman un llano: suman 180° |
| Opuestos por el vértice | son iguales |
| Ángulos de un triángulo | suman 180° |
| Vuelta entera | 360° |
Lo que tenés que poder explicar
- Por qué alargar los lados no agranda un ángulo.
- Cómo elegir la escala correcta del transportador (y cómo te ayuda estimar).
- Por qué los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
- Por qué las tres esquinas de un triángulo forman un llano.
Respondé sin mirar
- ¿Cuántos grados mide un ángulo llano? ¿Y un cuarto de vuelta?
- Un ángulo mide 95°. ¿Es agudo, recto u obtuso?
- ¿Cuál es el suplemento de 70°?
- Medís un ángulo agudo y donde cruza el lado ves 35 y 145. ¿Cuál anotás?
- Un triángulo tiene un ángulo recto y otro de 40°. ¿Cuánto mide el tercero?
Ver las respuestas
1) 180° y 90°. 2) Obtuso: es más que 90° y menos que 180°. 3) 110°, porque 70° + 110° = 180°. 4) 35°: si es agudo, tiene que ser menos de 90°. 5) 50°, porque 90° + 40° = 130° y 180° − 130° = 50°.
Para seguir: Área y perímetro y Latitud y longitud (6.º grado) usan estos grados y estas esquinas; en 2.º año, el Teorema de Pitágoras trabaja con triángulos rectángulos.
Respuestas del taller
- El B (mide 50°; el A mide 30°). El largo de los lados no cuenta.
- agudo, recto, obtuso, llano, completo.
- Son rectos el a, el b y el e. El c (70°) y el f (60°) son agudos; el d (110°) es obtuso.
- 50°: el lado fijo está a la izquierda, se lee la escala con el 0 a la izquierda.
- 55°, porque 35° + 55° = 90°.
- 55°, porque son adyacentes: 180° − 125° = 55°.
- 70°: los opuestos por el vértice son iguales.
- 65°, porque 48° + 67° = 115° y 180° − 115° = 65°.
- Falso: dos obtusos ya suman más de 180°.
- 75°: la larga está en el 6 (180° desde el 12) y la corta, entre el 3 y el 4 (3 × 30° + 15° = 105°); 180° − 105° = 75°.