Matemática5.º gradoCuaderno de división
Nadie se sabe la tabla del 23. Y no hace falta.
Para dividir por un número de dos cifras alcanza con tres verbos: estimar, probar y corregir. Acá vas a ver cómo, cuadradito por cuadradito, igual que en el cuaderno.
El problema de la directora
Para la excursión de fin de año viajan 347 personas, entre chicos y docentes. Cada micro tiene 42 asientos. La directora divide 347 por 42 y la cuenta le da 8.
¿Tiene que contratar 8 micros?
Elegí una respuesta. No te digo todavía si está bien: lo vas a poder demostrar vos en «¿Y el resto, qué hago?».
¿Qué pregunta hace una división?
En 4.º grado viste que dividir es repartir en partes iguales. Ahora los números crecen, pero la pregunta de fondo es la misma. Estos dos problemas parecen distintos y se resuelven con la misma cuenta, 92 ÷ 23:
Repartir
Hay 92 figuritas para repartir en partes iguales entre 23 chicos. ¿Cuántas le tocan a cada uno?
Agrupar
Hay 92 chicos que se organizan en equipos de 23. ¿Cuántos equipos se arman?
¿Cuántas veces entra?
Esa pregunta la vas a hacer una y otra vez dentro de la galera. Probala con saltos: ¿cuántos saltos de 23 entran en 100 sin pasarte?
Tocá «Saltar +23» para saltar de a 23 desde el 0.
Regla de oro
Lo que sobra, el resto, siempre es menor que el divisor. Si lo que sobra alcanzara para otro salto de 23, el 23 entraría una vez más.
Las partes de la cuenta
Así se escribe en el cuaderno la cuenta de 829 figuritas repartidas entre 23 chicos. Cada número tiene un nombre y un lugar fijo.
- Dividendo
- Lo que se reparte o se agrupa. Va a la izquierda.
- Divisor
- Entre cuántos se reparte, o de a cuánto se agrupa. Va a la derecha, dentro de la caja.
- Cociente
- Cuántas veces entra el divisor. Va debajo del divisor, una cifra por vez.
- Resto
- Lo que sobra. Queda abajo de todo y siempre es menor que el divisor.
Las restas se van escribiendo debajo del dividendo. En esta cuenta, cada chico recibe 36 figuritas y sobra 1. ¿Cómo se llega a ese 36? Eso es lo que sigue.
La galera, cuadradito por cuadradito
Con un divisor de una cifra, la tabla te salvaba. Con 23, 38 o 47 nadie tiene la tabla en la cabeza, así que cada cifra del cociente no se sabe: se estima, se prueba y, si hace falta, se corrige. El método tiene cuatro movimientos.
1. Elegí con qué número empezar
Mirá las cifras del dividendo de izquierda a derecha y juntá las justas para formar un número igual o mayor que el divisor.
8 no alcanza: el 23 no entra en 8.
82 alcanza: empezás con 82.
La galera empieza por la izquierda, al revés que las otras tres cuentas, porque primero se reparte lo más grande. Más abajo lo vas a ver con paquetes de figuritas.
Truco para no perderte
Antes de arrancar, contá cuántas cifras va a tener el cociente: una por el número con el que empezás y una más por cada cifra que te queda por bajar. En 829 ÷ 23 empezás con 82 y queda el 9 por bajar: el cociente tiene 2 cifras.
2. Estimá redondeando el divisor
23 está cerca de 20. Entonces, en vez de «¿cuántas veces entra 23 en 82?», te preguntás algo más fácil: «¿cuántas veces entra 20 en 82?». Alcanza con pensar en las decenas: ¿cuántas veces entra 2 en 8? Cuatro.
Machete permitido: la tabla del 23
Si querés ir a lo seguro, armala sumando 23 cada vez:
- 1 × 23 = 23
- 2 × 23 = 46
- 3 × 23 = 69
- 4 × 23 = 92
- 5 × 23 = 115
- 6 × 23 = 138
- 7 × 23 = 161
- 8 × 23 = 184
- 9 × 23 = 207
Control: 10 × 23 = 230, y 207 + 23 = 230. ¡Cierra!
3. Probá y corregí
La estimación es una apuesta. Para saber si acertaste, multiplicá la cifra por el divisor y mirá qué pasa:
¿Me pasé?
Si la multiplicación da más que el número que estás dividiendo, no se puede restar. Bajá uno.
4 × 23 = 92, y 92 es más que 82.
¿Me quedé corto?
Si al restar te queda un número igual o mayor que el divisor, el divisor entraba otra vez. Subí uno.
2 × 23 = 46, y 82 − 46 = 36: 36 es más que 23.
¡Justo!
La multiplicación no se pasa y lo que queda es menor que el divisor.
3 × 23 = 69, y 82 − 69 = 13: 13 es menos que 23.
4. Restá y bajá la cifra siguiente
Restás, y al lado del resultado bajás la cifra que sigue en el dividendo. Con ese número nuevo volvés al paso 2. Cuando no quedan cifras para bajar, terminaste: lo que quedó abajo de todo es el resto.
Ejemplo resuelto: 829 figuritas entre 23 chicos
Paso a paso, con la decisión escrita y no solo la cuenta.
- La cuenta armada. ¿Qué se reparte? Las 829 figuritas: es el dividendo y va a la izquierda. ¿Entre cuántos? 23 chicos: es el divisor y va dentro de la caja.
- ¿Por dónde empiezo? El 8 solo no alcanza: el 23 no entra en 8. Con 82 sí. Empiezo con 82. Como después queda el 9 por bajar, el cociente va a tener 2 cifras.
- Estimo. 23 está cerca de 20. ¿Cuántas veces entra 2 en 8? Cuatro. Pruebo con 4: 4 × 23 = 92. ¡Me pasé! 92 es más que 82: no se puede restar.
- Corrijo: bajo uno. Pruebo con 3: 3 × 23 = 69, que es menos que 82. Escribo el 3 en el cociente y el 69 debajo del 82.
- Resto y comparo. 82 − 69 = 13. ¿13 es menor que 23? Sí: el 3 está bien. Si me hubiera dado 23 o más, tendría que subir uno.
- Bajo la cifra siguiente. Bajo el 9 y lo escribo al lado del 13. Ahora tengo 139.
- Estimo otra vez. ¿Cuántas veces entra 2 en 13? Seis. Pruebo: 6 × 23 = 138. No me pasé: 138 es menos que 139. Escribo el 6 en el cociente.
- Resto y comparo. 139 − 138 = 1, y 1 es menor que 23. No quedan cifras para bajar: terminé.
- Respuesta y prueba. Cociente 36, resto 1: cada chico recibe 36 figuritas y sobra 1. Prueba: 23 × 36 = 828, y 828 + 1 = 829. ¡Da el dividendo!
Paso 1 de 9
¿Qué significa «bajar» una cifra?
Bajar no es un truco de magia: es cambiar lo que sobró por piezas más chicas. Imaginá que las 829 figuritas vienen en 82 paquetes de 10 y 9 sueltas.
- 82 − 69 = 13
Primero se reparten los paquetes cerrados: 3 paquetes para cada chico. Se usan 3 × 23 = 69 paquetes y sobran 13.
- 13 → 139
Los 13 paquetes que sobraron se abren: son 130 figuritas sueltas. Con las 9 sueltas que ya había, quedan 139. ¡Eso es «bajar el 9»!
- 139 − 138 = 1
Ahora se reparten las sueltas: 6 para cada chico. Se usan 6 × 23 = 138 y sobra 1.
Cada chico recibe 3 paquetes y 6 sueltas: 36 figuritas. Por eso el 3 del cociente vale 30: son decenas.
La prueba: ¿me salió bien?
Toda división se controla con una multiplicación y una suma. Se tienen que cumplir las dos cosas:
divisor × cociente + resto = dividendo
23 × 36 + 1 = 828 + 1 = 829
y además el resto es menor que el divisor: 1 es menor que 23.
Si alguna de las dos falla, hay un error escondido. Más adelante vas a ver un cuaderno donde la primera da bien… y la cuenta igual está mal.
Otro caso: cuando redondear para arriba te deja corto
Mirá 1.836 ÷ 27. Como 27 está más cerca de 30, estimás con 30.
- 18 no alcanza para 27: empezás con 183. ¿3 en 18? Seis. Probás: 6 × 27 = 162, y 183 − 162 = 21. Como 21 es menor que 27, es justo.
- Bajás el 6: 216. ¿3 en 21? Siete. Probás: 7 × 27 = 189, y 216 − 189 = 27. ¡Ojo! 27 no es menor que 27: el divisor entraba una vez más. Subís uno: 8 × 27 = 216, y 216 − 216 = 0.
- Cociente 68, resto 0. Prueba: 27 × 68 = 1.836.
Para recordar
¿Redondeaste el divisor para abajo, como 23 → 20? La estimación tiende a pasarse: mirá bien la multiplicación. ¿Lo redondeaste para arriba, como 27 → 30? Tiende a quedarse corta: mirá bien el resto.
Tu turno: armá la galera
Elegí una cuenta. En cada paso decidís vos: con qué número empezar, qué cifra va en el cociente y cuándo bajar la siguiente. Si te pasás o te quedás corto, te aviso y probás de nuevo.
Cargando la cuenta…
Lo que fuiste haciendo
Para hacer en el cuaderno, paso a paso: 857 ÷ 23, 4.715 ÷ 23 y 2.183 ÷ 37. Las soluciones están en «Respuestas», al final.
Cinco trampas y cómo esquivarlas
Hay errores que aparecen en cuadernos de todo el país. Si los conocés, los ves venir: el cero que se escapa, el resto que se pasa, la resta apurada, el arranque corto y la cuenta dada vuelta.
Trampa 1: el cero que se escapa
Tomi resolvió 4.715 ÷ 23 y le dio 25. Compará su cuaderno con la cuenta corregida.
Las restas de Tomi están perfectas. El error está en el cociente: cuando bajó el 1 le quedó 11, y el 23 no entra en 11. Ahí tenía que escribir un 0 en el cociente antes de bajar el 5.
¿Por qué un cero cambia tanto? Pensalo con figuritas en cajas de 100, paquetes de 10 y sueltas: 4.715 son 47 cajas, 1 paquete y 5 sueltas, para repartir entre 23 chicos.
- 47 − 46 = 1
Se reparten las cajas: 2 cajas para cada chico. Se usan 46 y sobra 1 caja.
- 11 → 0
Esa caja se abre: 10 paquetes, más el que había, son 11. ¡No alcanzan para darle un paquete a cada uno de los 23! 0 paquetes para cada chico: ese es el 0 del cociente.
- 115 − 115 = 0
Se abren los 11 paquetes: 110 sueltas, más 5, son 115. 5 sueltas para cada chico, y no sobra ninguna.
Cada chico recibe 2 cajas, 0 paquetes y 5 sueltas: 205. Sin el cero, 25 querría decir 2 paquetes y 5 sueltas: ¡muchísimo menos! La prueba lo delata: 23 × 25 = 575, lejísimos de 4.715.
Cómo esquivarla
- Cada vez que bajás una cifra, escribís una cifra en el cociente. Aunque sea un 0.
- Contá las cifras antes de empezar. Empezás con 47 y te quedan 2 cifras por bajar, el 1 y el 5: el cociente tiene 3 cifras. Si te da 25, falta una.
Corregí como la seño
Cada uno de estos cuadernos tiene una de las otras cuatro trampas. Encontrá cuál es y después mirá la corrección en rojo.
Cada uno de estos cuadernos tiene una de las otras cuatro trampas. Marcá cuál es en cada uno y escribí el resultado correcto. Las correcciones están en «Respuestas».
Cuaderno de Lola · 739 ÷ 32
Lola escribió: «Da 22 y sobran 35».
¿Qué trampa encontrás?
La trampa: el resto que se pasa. En el último paso Lola estimó corto: probó con 2, pero con 99 el 32 entra 3 veces (3 × 32 = 96). Bien hecha: 99 − 96 = 3. Resultado: 23, resto 3.
Fijate que la prueba sola no la salvaba: 32 × 22 + 35 = 739 da bien. Por eso la prueba tiene dos partes: también hay que mirar que el resto sea menor que el divisor.
Cuaderno de Benja · 527 ÷ 38
Benja escribió: «Da 17 y sobra 1».
¿Qué trampa encontrás?
La trampa: la resta apurada. 52 − 38: como 2 menos 8 no se puede, se pide prestado: 12 − 8 = 4 y 4 − 3 = 1. Da 14, no 26. Bien hecha: bajo el 7, queda 147; 3 × 38 = 114 y 147 − 114 = 33. Resultado: 13, resto 33.
La prueba lo delataba: 38 × 17 + 1 = 647, no 527. Cómo esquivarla: en cada resta, siempre el número de arriba menos el de abajo, cifra por cifra; si no alcanza, pedí prestado.
Cuaderno de Mica · 1.512 ÷ 36
Mica escribió: «Da 158 y sobran 24».
¿Qué trampa encontrás?
La trampa: el arranque corto. 15 no alcanza para 36: había que empezar con 151. Bien hecha: 4 × 36 = 144 y 151 − 144 = 7; bajo el 2, queda 72; 2 × 36 = 72, resto 0. Resultado: 42.
Cómo esquivarla: tomá cifras hasta que el número sea igual o mayor que el divisor, y contá las cifras del cociente. Con 151 y una sola cifra por bajar, el cociente tiene 2 cifras, no 3.
Cuaderno de Fran · 960 figuritas entre 32 chicos
El problema dice: «Hay 960 figuritas para repartir entre 32 chicos. ¿Cuántas le tocan a cada uno?».
Fran escribió: «No se puede: da 0 y sobran 32».
¿Qué trampa encontrás?
La trampa: la cuenta dada vuelta. Bien armada es 960 ÷ 32: empiezo con 96; 3 × 32 = 96, resto 0; bajo el 0 y queda 0, así que va un 0 en el cociente. Resultado: 30 figuritas para cada uno.
Cómo esquivarla: preguntate «¿qué se reparte?» (el dividendo, a la izquierda) y «¿entre cuántos?» (el divisor, en la caja). Si te da un cociente 0 en un problema de reparto, sospechá.
¿Y el resto, qué hago?
La galera te da dos números, el cociente y el resto, pero la respuesta del problema la decidís vos pensando en la situación. Estos cuatro problemas tienen resto, y en cada uno el resto pide algo distinto.
Viajan 347 personas en micros de 42 asientos. ¿Cuántos micros hay que contratar?
347 ÷ 42cociente 8resto 11
La panadería horneó 500 medialunas y las vende por docena, o sea, de a 12. ¿Cuántas docenas completas arma?
500 ÷ 12cociente 41resto 8
Para el Día de las Infancias, la cooperadora reparte 458 caramelos en partes iguales entre los 24 chicos de un grado. ¿Cuántos caramelos sobran?
458 ÷ 24cociente 19resto 2
Un viaje largo en micro dura 1.230 minutos. ¿Cuántas horas y minutos son? Acordate: 1 hora tiene 60 minutos.
1.230 ÷ 60cociente 20resto 30
Los cuatro destinos del resto
Hace falta uno más
Cuando no puede quedar nada afuera: micros, cajas para guardar todo. Respuesta: cociente + 1.
Queda afuera
Cuando solo valen los grupos completos: docenas, equipos llenos. Respuesta: el cociente.
Es la respuesta
Cuando te preguntan cuánto sobra. Respuesta: el resto.
Va en otra unidad
Cuando lo que sobra se dice de otra forma: horas y minutos. Respuesta: cociente y resto.
¿Y la directora? Tiene que contratar 9 micros: con 8 viajan 336 personas y 11 se quedarían en la vereda.
A practicar, con pistas
Nueve desafíos, de menor a mayor. Si te equivocás, la pista te dice dónde mirar. Tené a mano un papel para hacer las cuentas.
1En 6.384 ÷ 32, ¿con qué número empezás?
2¿Cuántas veces entra 47 en 196? Estimá redondeando y después probá.
3Sin hacer toda la cuenta: ¿cuántas cifras tiene el cociente de 9.576 ÷ 42?
4Ordená los pasos de la galera: tocalos (o numeralos, si estás en papel) en el orden en que se hacen.
5Resolvé 736 ÷ 23 en tu cuaderno y escribí el resultado.
6Resolvé 6.324 ÷ 31. Atención: esta tiene trampa.
7¿Verdadero o falso? Elegí la respuesta con la justificación correcta.
«Si para estimar redondeo 23 a 20, la cifra que me da nunca se queda corta: o es justa o se pasa».
8Para la kermés de la escuela hacen falta 650 vasos. Vienen en paquetes de 24. ¿Cuántos paquetes hay que comprar?
9Desafío final. Pensé un número. Lo dividí por 34 y me dio cociente 26 y el resto más grande que se puede. ¿Qué número pensé?
Lo que te llevás
Tenés que poder explicar
- Que dividir es preguntarse cuántas veces entra el divisor en el dividendo.
- Cómo se estima cada cifra redondeando el divisor, y cómo se corrige si te pasás o te quedás corto.
- Por qué a veces va un 0 en el cociente.
- Cómo se hace la prueba, con sus dos partes.
- Qué hacer con el resto según el problema.
En una línea
divisor × cociente + resto = dividendo
y el resto, siempre menor que el divisor.
Preguntas para responder sin mirar
Contestalas en voz alta o en tu carpeta, y recién después compará con la respuesta.
¿Por qué el resto tiene que ser menor que el divisor?
Porque si lo que sobra alcanza para otro divisor entero, el divisor entra una vez más: la cifra del cociente estaba corta.
¿Cuándo va un 0 en el cociente?
Cuando bajás una cifra y el número que te queda es menor que el divisor. Entra 0 veces: escribís el 0 y bajás la cifra siguiente.
¿Para qué sirve redondear el divisor?
Para estimar rápido cada cifra del cociente sin saber la tabla. Después se prueba multiplicando y, si hace falta, se corrige.
¿Cómo comprobás que una división está bien?
Divisor × cociente + resto tiene que dar el dividendo, y además el resto tiene que ser menor que el divisor.
Si en un problema sobran chicos sin asiento, ¿qué hacés con el cociente?
Le sumás uno: hace falta un micro más para los que sobran.
Respuestas
- Saltos de 23 en 100: entran 4 saltos (92) y sobran 8.
- Para hacer en el cuaderno: 857 ÷ 23 = 37, resto 6 · 4.715 ÷ 23 = 205, resto 0 · 2.183 ÷ 37 = 59, resto 0.
- Corregí como la seño:
- Lola (739 ÷ 32): el resto se pasó. Con 99, el 32 entra 3 veces: 99 − 96 = 3. Resultado: 23, resto 3. La prueba da 739, pero 35 no es menor que 32.
- Benja (527 ÷ 38): restó mal. Pidiendo prestado, 52 − 38 = 14, no 26. Resultado: 13, resto 33. Cada resta es el número de arriba menos el de abajo.
- Mica (1.512 ÷ 36): empezó con pocas cifras. 15 no alcanza para 36: se empieza con 151. Resultado: 42, resto 0. Contá las cifras del cociente: son 2, no 3.
- Fran (960 ÷ 32): dio vuelta la cuenta. Lo que se reparte, 960, va a la izquierda; entre cuántos, 32, en la caja. Resultado: 30, resto 0.
- ¿Y el resto, qué hago?: 9 micros · 41 docenas · sobran 2 caramelos · 20 horas y 30 minutos.
- A practicar: 1) 63 · 2) 4 veces · 3) 3 cifras · 4) Elijo el primer número, estimo, multiplico, resto y comparo, bajo la cifra siguiente · 5) 32, resto 0 · 6) 204, resto 0 · 7) Verdadero: 20 es menos que 23, así que entra igual o más veces · 8) 28 paquetes · 9) 917.
- Preguntas sin mirar: el resto es menor porque si no el divisor entraría otra vez · va un 0 cuando el número que queda al bajar es menor que el divisor · redondear sirve para estimar cada cifra · prueba: divisor × cociente + resto = dividendo, con resto menor que divisor · se suma uno al cociente.