Matemática · 5.º gradoFracciones
¿Un sexto o un octavo?
Repartir, medir y comparar fracciones sin caer en las trampas
Parece fácil: 8 es más que 6… ¿entonces un octavo de chocolate es más que un sexto? En esta clase vas a repartir tabletas sin que sobre nada, medir cintas con una tira de papel, descubrir fracciones que se escriben distinto pero valen lo mismo y hasta reconstruir una tableta entera a partir de un pedacito.
La apuesta de la chocolatería
Doña Rosa, la de la chocolatería del barrio, te deja elegir premio: 1/6 o 1/8 de la misma tableta. ¿Cuál te conviene?
- Repartir tabletas sin que sobre nada
- Medir con una tira y pasarte del entero
- Comparar y ubicar en la recta
Primero, el entero
Una fracción siempre es una parte de algo: de una tableta, de una pizza, de un metro de cinta, de una hora. Ese algo es el entero. Antes de decir «tengo 3/4», preguntate: ¿3/4 de qué?
- Numerador: 3
- Va arriba. Cuenta cuántas partes tomamos.
- Denominador: 4
- Va abajo. Dice en cuántas partes iguales se partió el entero. Por eso le pone nombre al pedazo: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos…
3/4 se lee «tres cuartos»: tres pedazos que se llaman cuartos porque hacen falta cuatro para completar la tableta.
Partes iguales, aunque cambie la forma
Para llamar 1/4 a un pedazo, el entero tiene que estar partido en 4 partes iguales: que ocupen lo mismo. No hace falta que tengan la misma forma. Un cuadrado cortado por sus dos diagonales da 4 triángulos iguales, y cada uno es 1/4.
Control de calidad
¿La parte pintada es 1/4 de su figura? Mirá cada una y decidí.
Figura A
Figura B
Figura C
Figura D
Figura E
Figura F
Ojo: ¿un medio de qué?
Las dos porciones son 1/2 de torta, pero no son iguales: una es la mitad de una torta grande y la otra, de una chica. Comparar fracciones solo tiene sentido si el entero es el mismo. Con el chocolate pasa igual: si en la mesa hay 2 tabletas y te comés una, comiste 1 tableta… o 1/2 de todo el chocolate de la mesa. Depende de qué llames entero.
Repartir sin que sobre nada
Al cerrar la chocolatería quedaron 4 tabletas iguales, y hay 6 amigos esperando. Quieren que a todos les toque lo mismo y que no sobre nada. Con tabletas enteras no alcanza: hay que cortar. Pero ¿en cuántos pedazos?
Laboratorio de repartos
Elegí cuántas tabletas, cuántos amigos y en cuántos pedazos cortar cada tableta. Después tocá Repartir: cada pedazo se pinta del color del amigo que lo recibe.
Anotador del reparto
Cada reparto justo queda anotado acá. Probá varios cortes para el mismo reparto y compará.
En papel: dibujá 4 tabletas iguales, cortá cada una en 3 pedazos iguales y repartí los 12 pedazos entre 6 amigos. Cada uno recibe 2 pedazos de 1/3: 2/3 de tableta. Si cortás en 6, cada uno recibe 4/6: el mismo chocolate.
Lo que descubre el laboratorio
- funcionaCortar en 6. Cada amigo recibe un pedazo de cada tableta: 4 pedazos de 1/6, o sea 4/6 de tableta.
- funcionaCortar en 3. Salen 4 × 3 = 12 tercios, y 12 ÷ 6 = 2 para cada uno: 2/3 de tableta.
- sobraCortar en 4. Salen 16 cuartos; 16 ÷ 6 da 2 para cada uno y sobran 4.
La regla del reparto
Repartir 4 tabletas entre 6 da 4/6 de tableta a cada uno: lo que se reparte va arriba, y entre cuántos se reparte, abajo. 4 ÷ 6 = 4/6. Como 4/6 y 2/3 son la misma cantidad, también podés decir 2/3.
¿2/3 o 2/12?
Cortando en tercios, cada amigo se lleva 2 de los 12 pedazos, y por eso alguno escribe 2/12. Pero 2/12 es la parte de todo el chocolate de la mesa. Si el entero es una tableta, cada uno recibe 2/3. Decí siempre de qué entero hablás.
Cuando hay más tabletas que amigos
Ahora son 7 tabletas para 4 amigos. Seguí las decisiones:
- ¿Alcanza para una entera cada uno? Sí: 4 tabletas, una por amigo. Quedan 7 − 4 = 3.
- ¿En cuántos pedazos corto las 3 que quedan? En 4, porque son 4 amigos: así cada tableta da un pedazo para cada uno.
- ¿Cuánto recibe cada uno? 1 tableta entera y 3 pedazos de 1/4: 1 3/4, que se lee «un entero y tres cuartos».
- ¿Y como fracción? 7 ÷ 4 = 7/4. Si hubieras cortado todas en cuartos, cada uno tendría 7 cuartos: con 4 cuartos se arma una tableta y quedan 3. Es lo mismo.
- ¿Cómo lo compruebo? 4 amigos × 7 cuartos = 28 cuartos, y 28 cuartos son 7 tabletas. No sobró nada.
¡Una fracción mayor que 1! No tiene nada de raro: si hay más tabletas que amigos, a cada uno le toca más de una. Fijate que 7/4 tiene el numerador más grande que el denominador.
Trampa: sumar arriba con arriba y abajo con abajo
Cortando en tercios, Caro recibe 1/3 de una tableta y 1/3 de otra. ¿Cuánto tiene? Si sumás los numeradores y los denominadores, te da 2/6… pero 2/6 ocupa lo mismo que 1/3, ¡un solo pedazo! Juntar dos pedazos no puede darte lo mismo que uno. Son 2 pedazos de tercio: 2/3. El numerador cuenta pedazos; el denominador dice de qué tamaño son, y el tamaño no cambia por juntarlos.
Distintos nombres, la misma cantidad
El laboratorio mostró que 2/3, 4/6 y 8/12 de tableta son la misma cantidad de chocolate. Se llaman fracciones equivalentes: nombran la misma parte del mismo entero, con pedazos de distinto tamaño.
La cortadora
Elegí una fracción y cortá cada pedazo en partes más chicas. Mirá qué cambia y qué no.
En papel: dibujá dos tabletas iguales con 2/3 pintados. En la segunda, cortá cada tercio en 2: vas a ver 4/6 pintados, que ocupan lo mismo.
Amplificar: cortar más fino
Si cortás cada pedazo en 4, hay 4 veces más pedazos y también 4 veces más pedazos tomados. Por eso se multiplica arriba y abajo por el mismo número:
2/3 = 2 × 4/3 × 4 = 8/12
Simplificar: juntar de a varios
Al revés: si juntás los pedazos de a 4, hay 4 veces menos pedazos. Se divide arriba y abajo por el mismo número:
8/12 = 8 ÷ 4/12 ÷ 4 = 2/3
Una fracción está simplificada al máximo cuando ningún número, salvo el 1, divide a la vez al numerador y al denominador. 2/3 lo está; 4/6 no, porque 4 y 6 se pueden dividir por 2.
Trampa: sumar lo mismo arriba y abajo
¿Sumar 1 arriba y 1 abajo da una fracción equivalente? Probá con 1/2: te queda 2/3. Pero 2/3 es más que la mitad. Sumar cambia la cantidad; multiplicar o dividir arriba y abajo por el mismo número, no.
AEscribí el numerador que falta para que las dos fracciones sean equivalentes.
Medir con una tira (y pasarse del entero)
Las fracciones también sirven para medir. En la chocolatería atan las cajas con cinta y la miden con una tira unidad: una tira de papel que vale 1. Si la cinta no mide una cantidad justa de tiras, doblás la tira en partes iguales y contás cuántas partes entran.
Más que un entero: está permitido
Hay quien cree que una fracción tiene que ser menor que 1. ¡No! 5/4 son 5 pedazos de 1/4: con 4 se arma un entero y sobra un cuarto. Por eso 5/4 = 1 1/4, que se lee «un entero y un cuarto». Esa forma de escribirlo se llama número mixto.
Menor que 1
3/4
Numerador menor: falta para completar el entero.
Igual a 1
4/4
Numerador igual: están todas las partes.
Mayor que 1
5/4
Numerador mayor: hay más partes que las de un entero.
De fracción a número mixto
11/4: ¿cuántos enteros de 4 cuartos se arman con 11 cuartos? Dividí: 11 ÷ 4 = 2 y sobran 3. Entonces 11/4 = 2 3/4.
De número mixto a fracción
2 1/3: cada entero tiene 3 tercios, así que 2 enteros son 6 tercios. Más 1 tercio: 7 tercios, o sea 7/3.
B¿Cuánto mide la cinta C, si la tira unidad está doblada en tercios?
El entero perdido
Ahora al revés. Encontrás un pedazo de tableta con una etiqueta que dice qué fracción es, y tenés que descubrir cómo era la tableta entera. La clave está en la etiqueta: 2/3 quiere decir «2 pedazos de tercio». Si lo partís en 2, tenés un tercio. Y una tableta entera son 3 tercios.
Reconstructor de tabletas
En papel: si un pedazo es 3/5 de la tableta, partilo en 3 (cada parte es 1/5) y dibujá esa parte 5 veces en fila: esa es la tableta entera.
¿Y si el pedazo es 3/2? Son 3 medios: partilo en 3 para tener un medio y repetilo 2 veces. ¡La tableta entera te queda más corta que el pedazo! Claro: 3/2 es más que 1.
¿Cuál es más? La recta decide
La recta numérica: una tira que no termina
La recta numérica es como una cinta métrica que sigue para siempre: el 0 al principio y el 1, el 2, el 3… siempre a la misma distancia, que hace de entero. Para ubicar 3/4, partís cada entero en 4 partes iguales y contás 3 rayitas desde el 0. Para 5/4, contás 5: pasás el 1.
Cuatro maneras de comparar
Mismo denominador
3/5 < 4/5
Pedazos del mismo tamaño: gana la que tiene más pedazos.
Mismo numerador
1/8 < 1/6
La misma cantidad de pedazos: gana la de pedazos más grandes, o sea, la de denominador más chico. ¡La apuesta del principio!
Con 1/2 de referencia
3/8 < 1/2 < 4/7
La mitad de 8 es 4: 3/8 no llega. La mitad de 7 es 3 y medio: 4/7 se pasa.
Con equivalentes
2/3 < 3/4
Llevá las dos a doceavos: 2/3 = 8/12 y 3/4 = 9/12. Con el mismo denominador, se comparan los numeradores.
Y la más rápida de todas: compará con el 1. 5/4 es más que 1 y 7/8 es menos que 1, así que 5/4 es mayor.
Trampa: «8 es más que 6»
Mirar solo los números de abajo lleva a creer que 1/8 es más que 1/6. Pero el denominador no cuenta cuánto tenés: dice en cuántas partes partiste el entero. Más partes, partes más chicas.
El comparador
Elegí una pareja (o armá la tuya), apostá cuál es más y después mirá la recta.
Fracción A
Fracción B
En papel: dibujá una recta de 0 a 2 y ubicá 2/3 y 3/4 (partí cada entero en 3 y en 4). 3/4 queda más a la derecha: es mayor.
Pedidos para resolver
Diez pedidos de la chocolatería, de menor a mayor dificultad, y un desafío. Si te equivocás, leé la pista y probá de nuevo: la pista te dice dónde estuvo el error.
1¿Qué fracción de la tableta está llena?
23 alfajores iguales se reparten entre 4 chicos, sin que sobre nada. ¿Cuánto recibe cada uno?
3Escribí el numerador que falta para que las dos fracciones sean equivalentes.
4¿Cuál es 12/16 simplificada al máximo?
5Verdadero o falso, con su razón: «1/8 de pizza es más que 1/6 de la misma pizza, porque 8 es más que 6».
6¿Cuál es mayor: 3/8 o 4/7?
7¿Cómo se escribe 11/3 como número mixto?
8Ordená de menor a mayor: tocá las tres fracciones en orden, empezando por la más chica.
1.º2.º3.º
9¿Qué número marca el punto en la recta?
10Esta tira de 6 cuadraditos es 3/4 de una tira entera. ¿Cuántos cuadraditos tiene la tira entera?
DDesafío final. En el cumple de Mía, 5 pizzas iguales se reparten entre 3 amigas. En el de Juan, 7 pizzas del mismo tamaño se reparten entre 4 amigos. Nadie deja nada. ¿En qué cumple cada chico come más pizza?
Para llevarte
Una fracción puede ser…
una parte de un entero
3/4 de tableta
3 de 4 partes iguales.
el resultado de un reparto
4 ÷ 6 = 4/6
Lo que se reparte, arriba; entre cuántos, abajo.
una medida
5/4 de tira
Cuántas partes de la unidad entran.
- El entero manda y las partes tienen que ser iguales. Denominador: en cuántas partes iguales. Numerador: cuántas tomo.
- Equivalentes: multiplicar o dividir arriba y abajo por el mismo número. 2/3 = 4/6 = 8/12. Nunca sumar.
- Comparar: mismo denominador, mismo numerador, con 1/2 o con el 1, o pasando a equivalentes.
- Mayor que 1: numerador mayor que el denominador. 7/4 = 1 3/4.
- El entero perdido: partí el pedazo según el numerador y repetí la parte según el denominador.
Preguntas para responder sin mirar
¿Por qué 1/8 es menor que 1/6 si 8 es mayor que 6?
Porque el denominador dice en cuántas partes iguales se parte el entero: con más partes, cada parte es más chica.
Si repartís 4 chocolates entre 6 amigos, ¿cuánto recibe cada uno? Decilo de dos maneras.
4/6 de chocolate, que es lo mismo que 2/3.
¿Cómo sabés si una fracción es mayor que 1? Da un ejemplo y escribilo como número mixto.
Cuando el numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo, 7/4 = 1 3/4.
Si un pedazo es 2/5 de una tira, ¿cómo armás la tira entera?
Lo partís en 2 (cada parte es 1/5) y repetís esa parte 5 veces.
¿Por qué no sirve sumar lo mismo arriba y abajo para conseguir una fracción equivalente?
Porque cambia la cantidad: 1/2 pasaría a 2/3, que es más. Hay que multiplicar o dividir arriba y abajo por el mismo número.
Para repasar o seguir: «Dividir es repartir» (4.º grado) para el reparto con resto; «Sumar y restar fracciones» y «Números decimales» (6.º grado), que arrancan justo donde termina esta clase.
Respuestas
- La apuesta. 1/6: la tableta partida en 6 tiene pedazos más grandes que partida en 8.
- Control de calidad. A sí · B sí (triángulos iguales) · C no (partes desiguales) · D sí · E no (es 1/3) · F sí (el pedazo entra 4 veces en el cuadrado).
- A. 3/4 = 6/8.
- B. 5/3 = 1 2/3: la cinta mide 5 tercios de la tira.
- 1. 3/8.
- 2. 3/4 de alfajor (3 ÷ 4).
- 3. 6/15.
- 4. 3/4 (dividir por 4).
- 5. Falso: con 8 pedazos, cada pedazo es más chico.
- 6. 4/7: pasa la mitad y 3/8 no llega.
- 7. 3 2/3 (11 ÷ 3 = 3, resto 2).
- 8. 1/2 < 2/3 < 5/4.
- 9. 4/3 = 1 1/3.
- 10. 8 cuadraditos (1 cuarto = 2 cuadraditos).
- Desafío. En el de Juan: 7/4 = 1 3/4 y 5/3 = 1 2/3; 3/4 = 9/12 es más que 2/3 = 8/12.