Matemática · 5.º año
Logaritmos: el exponente que buscás (y por qué miden terremotos)
Si doblás una hoja de papel, se duplican las capas. ¿Cuántas veces hay que doblarla para tener 1024 capas? Esa pregunta, «¿a qué número hay que elevar?», es justamente un logaritmo. Con él se miden los terremotos, la acidez del limón y el volumen de un recital. En esta clase vas a entenderlo desde la idea, no desde la fórmula.
Potencias al revés
En una potencia conocés la base y el exponente, y calculás el resultado: 210 = 1024. El logaritmo hace la pregunta inversa: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener cierto número?
logb x = y ⟺ by = x
Se lee «logaritmo en base b de x». La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, y x tiene que ser mayor que 0.
| Potencia | Logaritmo | Se lee |
|---|---|---|
| 23 = 8 | log2 8 = 3 | «hay que elevar 2 a la 3 para obtener 8» |
| 210 = 1024 | log2 1024 = 10 | diez dobleces dan 1024 capas |
| 34 = 81 | log3 81 = 4 | |
| 103 = 1000 | log10 1000 = 3 | tres ceros |
| 10−2 = 0,01 | log10 0,01 = −2 | el resultado puede ser negativo |
| 50 = 1 | log5 1 = 0 | el logaritmo de 1 siempre es 0 |
Laboratorio: la máquina inversa
Elegí una base y mové el exponente. La máquina muestra la potencia y su logaritmo al mismo tiempo. Después aceptá el desafío: encontrá el exponente que da el número pedido.
23 = 8
log2 8 = 3
Desafío: ¿Cuánto vale log2 64? Mové el exponente hasta obtener el número.
Propiedades: multiplicar sumando
Como los logaritmos son exponentes, heredan las reglas de las potencias (al multiplicar potencias de igual base, los exponentes se suman):
Producto
log (a · b) = log a + log b
log (100 · 1000) = 2 + 3 = 5
Cociente
log (a ÷ b) = log a − log b
log (1000 ÷ 10) = 3 − 1 = 2
Potencia
log (an) = n · log a
log (106) = 6 · 1 = 6
Cambio de base
logb x = log x ÷ log b
log2 8 = log 8 ÷ log 2 ≈ 0,903 ÷ 0,301 = 3
Escalas logarítmicas: terremotos, pH y sonido
Cuando una magnitud puede ir desde muy chica hasta enorme, una regla común no sirve: los valores chicos quedan amontonados. En una escala logarítmica, cada paso igual significa multiplicar por 10.
Laboratorio · Comparar terremotos
La magnitud de un sismo es logarítmica: un punto más significa una amplitud 10 veces mayor en el sismógrafo y unas 32 veces más energía liberada.
Por eso un terremoto como el de Caucete, en San Juan (1977), de magnitud 7,4 según los registros, fue muchísimo más destructivo que los sismos de magnitud 4 o 5 que se sienten con frecuencia en Cuyo.
El pH: cuánto ácido hay
El pH se calcula con un logaritmo de la concentración de iones de hidrógeno: pH = −log [H+]. Por eso cada unidad de pH es un factor 10: el jugo de limón (pH cercano a 2) es unas 100.000 veces más ácido que el agua pura (pH 7). Los valores de los ejemplos son aproximados.
Los decibeles: cuánto suena
La intensidad del sonido se mide en decibeles (dB), otra escala logarítmica: cada 10 dB más, la intensidad se multiplica por 10. Una conversación ronda los 60 dB y un recital puede pasar los 100 dB: ¡más de 10.000 veces más intensidad! Por eso la exposición prolongada a sonidos fuertes daña el oído.
Resolver ecuaciones exponenciales
Cuando la incógnita está en el exponente, el logaritmo la «baja».
Fácil: misma base
2x = 32
32 = 25, así que x = 5. Es lo mismo que calcular log2 32.
Con calculadora
3x = 20
Aplico log a los dos lados: x · log 3 = log 20. Entonces x = log 20 ÷ log 3 ≈ 1,301 ÷ 0,477 ≈ 2,73. Control: 32 = 9 y 33 = 27, así que tenía que estar entre 2 y 3.
Un problema real
1,1n = 2
Si un ahorro crece un 10 % por año, ¿en cuántos años se duplica? n = log 2 ÷ log 1,1 ≈ 0,301 ÷ 0,0414 ≈ 7,3 años.
Taller: diez exponentes escondidos
En las de escribir, poné solo el número (podés escribir −2 o -2).
1
Calculá: log2 16
2
Calculá: log3 27
3
Calculá: log 1000 (logaritmo decimal)
4
Calculá: log 0,01
5
¿A qué es igual log (5 · 20)?
6
¿Cuánto vale log (−10)?
7
Resolvé la ecuación: 2x = 64. ¿Cuánto vale x?
8
Un terremoto de magnitud 6 comparado con uno de magnitud 4: su amplitud en el sismógrafo es…
9
Un líquido de pH 3 comparado con otro de pH 5 es…
10
Desafío final Cada vez que doblás una hoja, la cantidad de capas se duplica. ¿Cuántas veces hay que doblarla para tener 1024 capas?
Exponentes encontrados: 0 de 10
Para explicarlo sin mirar
Cuaderno de ingeniería
- logb x = y significa by = x: el logaritmo es un exponente.
- Solo existe para x > 0. logb 1 = 0 y logb b = 1.
- Producto → suma · cociente → resta · potencia → multiplicación.
- En una escala logarítmica, cada paso igual es × 10: magnitud de los sismos, pH, decibeles.
Respondé en voz alta
- ¿Qué pregunta responde un logaritmo? Explicalo con el ejemplo de doblar papel.
- ¿Por qué no existe log (−5)?
- ¿Por qué log 0,001 da un número negativo?
- Un sismo de magnitud 8 y otro de 5: ¿cuántas veces mayor es la amplitud del primero?
- ¿Por qué log (2 + 3) no es igual a log 2 + log 3?
Ver las respuestas del taller
- 4.
- 3.
- 3.
- −2.
- log 5 + log 20 (= 2).
- No existe.
- 6.
- 100 veces mayor.
- 100 veces más ácido.
- 10 dobleces (log2 1024 = 10).
Repaso 4: 1000 veces (103).