12Matemática · 3.º año

Dos pistas,
un solo cruce

Si alguien te dice «te espero en la ruta», no sabés dónde parar: la ruta es larguísima. Si te dice «te espero donde se cruzan las dos rutas», sí. Con los números pasa lo mismo: cuando un problema esconde dos números, una sola ecuación no alcanza para encontrarlos. Necesitás dos pistas… y buscar dónde se cruzan.

Ilustración: vista aérea de campos de la llanura pampeana cruzados por dos rutas rectas que se cortan en un solo punto. Un auto naranja avanza por una ruta y un auto azul por la otra, los dos hacia el cruce.
Dos rutas rectas en la llanura: el auto naranja va por una y el azul por la otra. Hay un único lugar donde pueden encontrarse.
  • Plantear un sistema a partir de un problema
  • Resolverlo por sustitución, igualación o reducción
  • Saber, mirando dos rectas, si hay una, ninguna o infinitas soluciones

Una pista no alcanza

El misterio del pedido

Para el cumple de Tomás encargaron tres docenas de empanadas a la rotisería del barrio: unas de carne y otras de verdura. La de carne sale $1.500; la de verdura, $1.200. Pagaron $50.400 en total. Llegó la caja… y nadie se acuerda cuántas eran de cada gusto.

Sin abrir ninguna: ¿cuántas son de carne?

Rotisería · ticket

¿Lo encontraste? Fijate qué hiciste: usaste dos pistas a la vez.

1Pista 1. Entre carne y verdura son 36 empanadas.

2Pista 2. Entre todas cuestan $50.400.

Con la pista 1 sola había 37 repartos posibles: 0 de carne y 36 de verdura, 1 y 35, 2 y 34… hasta 36 y 0. Todos suman 36. La pista 2 es la que elige uno solo, porque cada reparto cuesta distinto.

Ponele nombre a lo que no sabés

El primer paso es escribir una leyenda, como la de un mapa: qué significa cada letra.

Leyenda

x = cantidad de empanadas de carne

y = cantidad de empanadas de verdura

Ahora cada pista se escribe como una ecuación. Juntas forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

1 x + y = 362 1.500x + 1.200y = 50.400

La llave «{» se lee «y a la vez»: las dos igualdades tienen que cumplirse al mismo tiempo.

Solución de un sistema

Es un par de números (x; y) que cumple las dos ecuaciones a la vez. El orden importa: primero va x y después y. Usamos punto y coma porque la coma ya la usamos para los decimales.

Verificar es reemplazar

Para comprobar que (24; 12) es la solución, reemplazá x por 24 e y por 12 en las dos ecuaciones:

1 24 + 12 = 36

2 1.500 · 24 + 1.200 · 12 = 36.000 + 14.400 = 50.400

Las dos dan bien. Si una sola diera bien, ese par no sería la solución.

Probá vos · ¿Es solución?

Tocá un par y revisalo en las dos ecuaciones de este sistema:

1 x + y = 102 x − y = 4

246810246810 xy
x + y = 10x − y = 4

Elegí un par para ver qué pasa en cada ecuación y dónde queda en el gráfico.

Cada ecuación es una recta

Volvé a la pista 1: x + y = 36. Tiene un montón de soluciones: (0; 36), (6; 30), (12; 24), (18; 18)… Si las marcás en un gráfico, quedan alineadas. No es casualidad: los pares que cumplen una ecuación como esta forman siempre una recta. Por eso se llaman ecuaciones lineales.

1224361224360 x: empanadas de carney: de verdura (24; 12)
pista 1: x + y = 36pista 2: 1.500x + 1.200y = 50.400

Los puntos naranjas son algunos repartos de 36 empanadas: todos sobre la recta naranja. La recta azul junta todos los pares que cuestan justo $50.400. La solución tiene que estar en las dos rectas a la vez: es el cruce, (24; 12).

Conexión con función lineal

Si despejás y, cada ecuación se convierte en una función lineal y = m · x + b, con su pendiente m y su ordenada al origen b:

x + y = 36 → y = −x + 36

1.200y = 50.400 − 1.500x → y = −1,25x + 42

Resolver el sistema es buscar el x en el que las dos funciones valen lo mismo.

Laboratorio central · Mesa de rutas

Cada ruta es una recta y = m · x + b. Con la pendiente m la inclinás; con la ordenada al origen b la subís o la bajás. Mirá qué le pasa al cruce y probá cumplir las tres misiones.

1 Ruta naranja:
2 Ruta azul:

Misiones 0 de 3

  • Hacé que las rutas se crucen justo en (2; 3).
  • Hacé que no se crucen nunca.
  • Hacé que compartan todo el recorrido.

Tres mapas posibles

Con dos rectas en el plano solo pueden pasar tres cosas. Cada una tiene su nombre:

Se cortanuna solucióncompatible determinado
Paralelasninguna soluciónincompatible
Coincidentesinfinitas solucionescompatible indeterminado

Sin dibujar: compará m y b

Despejá y en las dos ecuaciones y mirá las pendientes y las ordenadas:

Si las rectas tienen…el sistema es…
distinta pendientese cortan: compatible determinado (una solución)
igual pendiente y distinta ordenadaparalelas: incompatible (ninguna solución)
igual pendiente e igual ordenadacoincidentes: compatible indeterminado (infinitas soluciones)

Paralelas en la vida real

Sol y Nico ahorran $2.000 por semana cada uno, pero Sol arrancó con $5.000 y Nico con $1.000. ¿Cuándo van a tener lo mismo? Nunca: y = 2.000x + 5.000 e y = 2.000x + 1.000 tienen la misma pendiente. La diferencia de $4.000 se mantiene para siempre.

Una pista repetida

Si la segunda pista del pedido fuera «el doble de las de carne más el doble de las de verdura da 72», no agregaría nada: 2x + 2y = 72 es x + y = 36 multiplicada por 2. Es la misma recta: infinitas soluciones.

El gráfico muestra; las cuentas precisan. Si el cruce cae en (1,4; 2,7), a ojo es casi imposible leerlo exacto. Para eso están los métodos algebraicos del kilómetro que viene.

Tres caminos al mismo cruce

Los tres métodos que siguen tienen la misma idea: transformar dos ecuaciones con dos incógnitas en una sola ecuación con una incógnita, que ya sabés resolver desde 1.º año. Lo que cambia es cómo hacés desaparecer una de las letras.

S Sustitución: despejá y reemplazá en la otra

Ejemplo resuelto · Básquet

En un partido, el equipo de Juli metió 15 canastas entre dobles (2 puntos) y triples (3 puntos) y sumó 36 puntos, sin contar los tiros libres. ¿Cuántos dobles y cuántos triples metió?

Leyenda

x = cantidad de dobles · y = cantidad de triples

1 x + y = 152 2x + 3y = 36

  1. Elegí qué letra despejar

    x + y = 15 → x = 15 − y

    ¿Qué despejo? Una letra sin número adelante: así no aparecen fracciones. En la ecuación 1 las dos están solas; elegimos x. La y estaba sumando, así que pasa restando.

  2. Reemplazá en la otra ecuación

    2(15 − y) + 3y = 36

    En la ecuación 2, donde dice x escribís (15 − y) con paréntesis: el 2 multiplica a todo.

  3. Resolvé la ecuación de una incógnita

    30 − 2y + 3y = 36 → 30 + y = 36 → y = 6

    Distributiva: 2 · 15 = 30 y 2 · (−y) = −2y.

  4. Volvé por la otra letra

    x = 15 − 6 = 9

    Usá la ecuación que ya tenías despejada: es la más cómoda.

  5. Verificá en las dos

    9 + 6 = 15 2 · 9 + 3 · 6 = 18 + 18 = 36

(9; 6) Metió 9 dobles y 6 triples.

I Igualación: si las dos dicen cuánto vale y, igualalas

Ejemplo resuelto · Dos gimnasios

El gimnasio A cobra $30.000 de inscripción y $20.000 por mes. El gimnasio B no cobra inscripción, pero la cuota es de $25.000 por mes. ¿Después de cuántos meses pagaste lo mismo en los dos?

Leyenda

x = cantidad de meses · y = total pagado, en pesos

A y = 20.000x + 30.000B y = 25.000x

  1. Despejá la misma letra en las dos

    Acá ya está hecho: las dos ecuaciones dicen «y = …».

  2. Igualá las dos expresiones

    25.000x = 20.000x + 30.000

    Si las dos son iguales a y, son iguales entre sí.

  3. Resolvé

    25.000x − 20.000x = 30.000 → 5.000x = 30.000 → x = 6

  4. Volvé por la otra letra y verificá

    B: y = 25.000 · 6 = 150.000 A: 20.000 · 6 + 30.000 = 150.000

024681050.000100.000150.000200.000 meses (6; 150.000) antes del mes 6:conviene B después:conviene A
A: y = 20.000x + 30.000B: y = 25.000x

(6; 150.000) A los 6 meses pagaste $150.000 en cualquiera de los dos. Antes conviene B; después, A.

Igualar es buscar el cruce con cuentas en vez de con el dibujo: el mes en que las dos rectas tienen la misma altura.

¿Y si no vienen despejadas? Despejá la misma letra en las dos. En x + 2y = 10 y x − y = 1: x = 10 − 2y y x = 1 + y, entonces 10 − 2y = 1 + y, de donde 9 = 3y, y = 3 y x = 4.

R Reducción: sumá para borrar una letra

Mirá el sistema del «¿Es solución?». Si sumás las dos ecuaciones miembro a miembro, la y se borra sola, porque +y y −y son opuestos:

x+ y=10 +x− y=4 2x0=14

Entonces x = 7 y, en la ecuación 1, 7 + y = 10, o sea y = 3. Es el (7; 3) de antes.

¿Por qué se pueden sumar dos ecuaciones?

Una ecuación es como una balanza en equilibrio. Si juntás lo que hay en los platos izquierdos de dos balanzas equilibradas y también lo de los derechos, el equilibrio se mantiene: si A = B y C = D, entonces A + C = B + D.

Ejemplo resuelto · El kiosco

En el kiosco, 3 alfajores y 2 jugos cuestan $7.600, y 2 alfajores y 3 jugos cuestan $8.400. ¿Cuánto sale cada cosa?

Leyenda

x = precio de un alfajor · y = precio de un jugo

1 3x + 2y = 7.6002 2x + 3y = 8.400

  1. Elegí qué letra borrar

    Ninguna tiene todavía números iguales u opuestos. Elegimos borrar la x, que tiene 3 y 2.

  2. ¿Por cuánto multiplico?

    Buscá un número que esté en la tabla del 3 y en la del 2: el 6. Multiplicá la ecuación 1 por −2 y la 2 por 3, así quedan −6x y 6x: opuestos. Multiplicá todos los términos, también el resultado.

    · (−2)−6x− 4y=−15.200 · 36x+ 9y=25.200 sumo05y=10.000

  3. Sumá: la x se borra

    5y = 10.000 → y = 2.000

  4. Volvé por la otra letra

    3x + 2 · 2.000 = 7.600 → 3x = 3.600 → x = 1.200

  5. Verificá en las dos

    3 · 1.200 + 2 · 2.000 = 3.600 + 4.000 = 7.600 2 · 1.200 + 3 · 2.000 = 2.400 + 6.000 = 8.400

(1.200; 2.000) El alfajor sale $1.200 y el jugo, $2.000.

¿Sumo o resto? Si la letra quedó con números opuestos (−6x y 6x), sumás. Si quedó con números iguales (6x y 6x), restás… y restar es donde más se pifia, porque el menos afecta a toda la ecuación. Truco: multiplicá una por un número negativo y siempre vas a sumar.

¿Qué camino conviene?

S

Sustitución si alguna letra está sola, sin número adelante (o con −1).

x + y = 15

I

Igualación si las dos ecuaciones ya están despejadas.

y = 25.000x

R

Reducción si una letra tiene números iguales u opuestos, o fáciles de igualar.

2y y −4y

Los tres caminos llegan al mismo cruce. Elegir bien solo te ahorra cuentas… y errores.

Cuando se borran las dos letras

A veces, al hacer desaparecer una letra, ¡se va también la otra! Son los casos especiales del kilómetro 2:

Queda algo falso: ninguna solución

x + y = 52x + 2y = 7

Multiplicás la primera por −2 y sumás: −2x − 2y + 2x + 2y = −10 + 7, o sea 0 = −3.

Es falso para cualquier par: el sistema es incompatible. Son rectas paralelas.

Queda algo siempre cierto: infinitas

x + y = 52x + 2y = 10

El mismo paso da 0 = 0, que es cierto siempre: sirve cualquier par que cumpla x + y = 5.

El sistema es compatible indeterminado. Es la misma recta.

Ojo. Si llegás a algo como 15 = 15 porque reemplazaste en la misma ecuación de la que despejaste, eso no quiere decir que haya infinitas soluciones: es un desvío. Lo vas a ver en el kilómetro 4.

Resolvé con GPS

Ahora manejás vos. En cada parada elegí el paso que sigue. Si te desviás, el GPS no te reta: recalcula y te dice dónde estuvo el desvío.

Laboratorio · Viajes con GPS

Viaje A · sustitución

1 2x + y = 112 3x − 2y = 6

  1. ¿Qué letra conviene despejar?

    Despejo la y de la ecuación 1: no tiene número adelante.

  2. Despejá y de 2x + y = 11. ¿Cómo queda?

    y = 11 − 2x

  3. ¿Dónde reemplazás la y?

    3x − 2(11 − 2x) = 6 (en la otra ecuación)

  4. Aplicá la propiedad distributiva. ¿Qué queda?

    3x − 22 + 4x = 6 → 7x − 22 = 6

  5. Resolvé 7x − 22 = 6.

    7x = 28 → x = 4

  6. ¿Terminaste?

    Falta y: y = 11 − 2 · 4 = 3

Llegada (4; 3)

Verificación: 2 · 4 + 3 = 11 3 · 4 − 2 · 3 = 12 − 6 = 6

Viaje B · reducción

1 3x + 2y = 162 5x − 4y = −10

  1. ¿Qué letra conviene borrar?

    Borro la y: tiene 2y y −4y, con signos opuestos.

  2. ¿Por cuánto multiplicás la ecuación 1?

    Multiplico la ecuación 1 por 2.

  3. Multiplicá toda la ecuación 1 por 2:

    6x + 4y = 32

  4. Sumá miembro a miembro: (6x + 4y) + (5x − 4y) = 32 + (−10)

    11x = 22 → x = 2

  5. Ya sabés que x = 2. ¿Y la y?

    6 + 2y = 16 → 2y = 10 → y = 5

Llegada (2; 5)

Verificación: 3 · 2 + 2 · 5 = 16 5 · 2 − 4 · 5 = 10 − 20 = −10

Seis desvíos frecuentes (y cómo volver a la ruta)

El signo al despejar

Así no 2x + y = 11 → y = 11 + 2x

Así sí y = 11 − 2x

Lo que suma de un lado pasa restando al otro, y al revés.

Restar a medias

Así no (6x + 9y) − (6x − 4y) = 5y

Así sí 9y − (−4y) = 13y

El menos afecta a toda la ecuación que restás. Para no pifiarla, multiplicá por un negativo y sumá.

Reemplazar en la misma

Así no x = 15 − y en x + y = 15 → 15 = 15

Así sí reemplazar en la otra ecuación

Ese 15 = 15 es cierto pero no informa nada. No significa que haya infinitas soluciones.

Quedarse con una letra

Así no «Respuesta: y = 6»

Así sí (9; 6) 9 dobles y 6 triples

La solución es un par: volvé por la otra letra con la ecuación más cómoda.

Cruzar x con y

Así no x = generales ($7.000), pero 5.000x + 7.000y

Así sí 7.000x + 5.000y

Escribí la leyenda y miralo antes de traducir cada pista.

No verificar

Así no dar el resultado sin probarlo

Así sí reemplazar en las dos ecuaciones y releer el enunciado

Cuesta un minuto y atrapa casi todos los desvíos anteriores.

Del enunciado al sistema

Plantear es el paso más difícil… y el que más importa: si el sistema está mal armado, podés resolverlo perfecto y la respuesta igual va a estar mal. Seguí estas cinco paradas:

  1. Marcá las dos cosas que no sabés

    Leé dos veces. Casi siempre son justo lo que pregunta el problema.

  2. Escribí la leyenda

    «x = …», «y = …», con la unidad: ¿cantidad?, ¿precio?, ¿edad hoy?

  3. Buscá dos pistas

    Dos datos que relacionen x con y. Suele haber una de «cuántos» y otra de «cuánto vale», o una de «hoy» y otra de «antes» o «después».

  4. Traducí cada pista a una ecuación

    Usá el diccionario de abajo.

  5. Resolvé y verificá en el enunciado

    No solo en tus ecuaciones: si planteaste mal, tus ecuaciones van a «dar bien» igual.

Diccionario castellano–álgebra

En castellanoEn álgebra
Entre los dos suman 20x + y = 20
x es el doble de yx = 2y
x tiene 5 más que yx = y + 5 (o x − y = 5)
y tiene 3 menos que xy = x − 3
4 entradas a $x cada una4x
la edad de x hace 4 añosx − 4
la edad de x dentro de 6 añosx + 6

Probá con números para no darla vuelta. «Santi tiene 4 más que Mica»: si Mica tiene 10, Santi tiene 14. ¿Qué ecuación da eso? x = y + 4 → 14 = 10 + 4 . En cambio y = x + 4 diría 10 = 18 : está al revés.

Ejemplo resuelto · Edades

Hoy la mamá de Lucas tiene el triple de la edad de Lucas. Dentro de 12 años, va a tener el doble. ¿Qué edad tiene cada uno hoy?

  1. Lo que no sé

    La edad de Lucas y la de su mamá, hoy.

  2. Leyenda

    x = edad de Lucas hoy · y = edad de la mamá hoy

  3. Dos pistas

    Hoy: y = 3x

    Dentro de 12 años: y + 12 = 2(x + 12)

    Dentro de 12 años, los dos cumplen 12 más.

  4. Resolvé (sustitución: y ya está despejada)

    3x + 12 = 2x + 24 → x = 12 → y = 3 · 12 = 36

  5. Verificá en el enunciado

    Hoy, 36 es el triple de 12 . En 12 años: Lucas 24 y su mamá 48, y 48 es el doble de 24 .

(12; 36) Lucas tiene 12 años y su mamá, 36.

Desvío típico: escribir y + 12 = 2x. ¡Dentro de 12 años Lucas también cumple 12 más!

Laboratorio · El planteador

Tres problemas, tres paradas cada uno: la leyenda y las dos pistas. Al final, el GPS resuelve y verifica con vos.

Problema 1 · Cine. Fuimos 7 al cine. La entrada general cuesta $7.000 y la de menores, $5.000. Pagamos $41.000 en total. ¿Cuántas entradas de cada tipo compramos?

  1. ¿Qué conviene llamar x e y?

    Leyenda: x = entradas generales · y = entradas de menores

  2. Pista «fuimos 7». ¿Qué ecuación es?

    Pista 1: x + y = 7

  3. Pista «pagamos $41.000». ¿Qué ecuación es?

    Pista 2: 7.000x + 5.000y = 41.000

Sistema armado

Por sustitución: x = 7 − y, entonces 7.000(7 − y) + 5.000y = 41.000 → 49.000 − 2.000y = 41.000 → y = 4 y x = 3.

En el enunciado: 3 generales (3 · 7.000 = 21.000) y 4 de menores (4 · 5.000 = 20.000) suman $41.000 , y 3 + 4 = 7 personas .

Problema 2 · Figuritas. Entre Santi y Mica tienen 30 figuritas repetidas. Santi tiene 4 más que Mica. ¿Cuántas tiene cada uno?

  1. ¿Qué es x y qué es y?

    Leyenda: x = figuritas de Santi · y = figuritas de Mica

  2. Pista «entre los dos tienen 30»:

    Pista 1: x + y = 30

  3. Pista «Santi tiene 4 más que Mica»:

    Pista 2: x = y + 4

Sistema armado

Por sustitución: (y + 4) + y = 30 → 2y = 26 → y = 13 y x = 17.

En el enunciado: 17 + 13 = 30 figuritas y Santi tiene 17 − 13 = 4 más .

Problema 3 · Edades. Un papá tiene 30 años más que su hija. Dentro de 5 años, la edad del papá va a ser el triple de la de su hija. ¿Qué edad tiene cada uno hoy?

  1. ¿Qué es x y qué es y?

    Leyenda: x = edad de la hija hoy · y = edad del papá hoy

  2. Pista «el papá tiene 30 años más que su hija»:

    Pista 1: y = x + 30

  3. Pista «dentro de 5 años, el papá va a tener el triple que su hija»:

    Pista 2: y + 5 = 3(x + 5)

Sistema armado

Por sustitución: x + 30 + 5 = 3x + 15 → 20 = 2x → x = 10 y y = 40.

En el enunciado: hoy, 40 − 10 = 30 años de diferencia . En 5 años: 45 y 15, y 45 = 3 · 15 .

Verificá en el contexto

Las soluciones de un sistema pueden ser cualquier número; las de un problema, no siempre. Si en el cine hubieran pagado $40.000, el sistema da x = 2,5: ¡dos entradas y media! El sistema tiene solución, pero el problema no: seguro hay un dato mal o un error en el planteo. Preguntate siempre: si cuento cosas, ¿me dio un número entero?, ¿es positivo?, ¿la edad es razonable?

Taller: doce viajes

De menor a mayor dificultad. En los de escribir, poné solo el número (podés usar punto para los miles y coma para los decimales). Si te desviás, la pista te dice dónde.

Llegadas: 0 de 12

1Elegí

¿Qué par es solución de x + y = 9x − y = 3?

2Verdadero o falso

El par (2; −1) es solución de 3x + y = 5x − 2y = 4

3Elegí

Para resolver y = 4x − 12x + 3y = 25 por sustitución, ¿qué ecuación con una sola incógnita sale?

4Calculá · sustitución

Resolvé y = 2x − 13x + y = 14

5Calculá · reducción

Resolvé 2x + 3y = 122x − y = 4

6Clasificá

¿Cuántas soluciones tiene cada sistema?

y = 3x + 1y = 3x − 2

x + y = 43x + 3y = 12

y = x + 1y = −x + 5

7Leé el gráfico

¿Cuál es la solución del sistema formado por estas dos rectas?

xy −2−11234123456
y = x + 2y = −2x + 5

8Plantear

En un estacionamiento hay autos y motos: 20 vehículos y 64 ruedas. Si x = cantidad de autos e y = cantidad de motos, ¿qué sistema representa la situación?

9Problema

En la cancha, la platea cuesta $3.000 más que la popular. Por 2 plateas y 3 populares pagamos $46.000. ¿Cuánto cuesta cada entrada?

10Desafío

¿Qué valor tiene que tener k para que el sistema y = 3x + 1y = kx + 4 no tenga solución?

11Desafío

Con el mismo sistema del viaje 10, ¿qué valor de k hace que tenga infinitas soluciones?

12Desafío final

Sofía tiene 4 años más que su hermano Teo. Hace 2 años, la edad de Sofía era el doble de la de Teo. ¿Cuántos años tiene cada uno hoy?

Para llevarte

Plano de bolsillo

Qué es

Sistema: dos ecuaciones que se cumplen a la vez.

Solución: el par (x; y) que cumple las dos.

Verificar: reemplazar en las dos.

Cómo se ve

  • Se cortan: una solución (compatible determinado)
  • Paralelas: ninguna (incompatible)
  • Coincidentes: infinitas (compatible indeterminado)

Cómo se resuelve

S Despejá una letra sola y reemplazala en la otra ecuación.

I Despejá la misma letra en las dos e igualá.

R Multiplicá para dejar números opuestos y sumá.

Si se borran las dos letras: 0 = 0 → infinitas; 0 = 3 → ninguna.

Checklist del viaje

  1. Leyenda: qué es x y qué es y
  2. Dos pistas, dos ecuaciones
  3. Resolver con el camino más cómodo
  4. Volver por la otra letra
  5. Verificar en el enunciado

Para explicar sin mirar

  1. ¿Por qué una sola ecuación con dos incógnitas no alcanza para saber cuánto vale cada una?
  2. ¿Cómo comprobás si un par es solución de un sistema? ¿Alcanza con que cumpla una de las ecuaciones?
  3. Con dos rectas pueden pasar tres cosas. ¿Cuáles son y cuántas soluciones tiene el sistema en cada caso?
  4. En sustitución, ¿por qué hay que reemplazar en la otra ecuación y no en la misma?
  5. En reducción, ¿cómo decidís por cuánto multiplicar y si tenés que sumar o restar?
Respuestas del taller, del planteador y de las preguntas

Taller

  1. (6; 3): 6 + 3 = 9 y 6 − 3 = 3.
  2. Verdadero: 3 · 2 + (−1) = 5 y 2 − 2 · (−1) = 4.
  3. 2x + 3(4x − 1) = 25 (da x = 2, y = 7).
  4. (3; 5): 3x + 2x − 1 = 14, 5x = 15, x = 3; y = 2 · 3 − 1 = 5.
  5. (3; 2): restando, 4y = 8, y = 2; 2x − 2 = 4, x = 3.
  6. a) ninguna (paralelas); b) infinitas (misma recta); c) una, (2; 3).
  7. (1; 3).
  8. x + y = 20 y 4x + 2y = 64 (12 autos y 8 motos).
  9. Popular $8.000 y platea $11.000: 2 · 11.000 + 3 · 8.000 = 46.000.
  10. k = 3: misma pendiente y distinta ordenada, rectas paralelas.
  11. Ningún valor de k: las ordenadas 1 y 4 nunca coinciden.
  12. Teo 6 años y Sofía 10: s = t + 4 y s − 2 = 2(t − 2).

Planteador

Cine: x = entradas generales, y = de menores; x + y = 7 y 7.000x + 5.000y = 41.000 → 3 generales y 4 de menores. Figuritas: x = Santi, y = Mica; x + y = 30 y x = y + 4 → Santi 17, Mica 13. Edades: x = hija hoy, y = papá hoy; y = x + 30 e y + 5 = 3(x + 5) → hija 10, papá 40.

Laboratorios

¿Es solución?: solo (7; 3). Mesa de rutas: por ejemplo y = x + 1 e y = −x + 5 se cruzan en (2; 3); misma m y distinta b → paralelas; misma m y misma b → coincidentes.

Para explicar sin mirar (ideas clave)

  1. Porque muchos pares la cumplen (toda una recta): hace falta otra pista que elija uno.
  2. Reemplazando en las dos. Tiene que cumplir las dos; con una sola no alcanza.
  3. Se cortan (una solución), son paralelas (ninguna) o coinciden (infinitas).
  4. Porque en la misma ecuación todo se cancela y queda algo como 15 = 15, que no dice nada.
  5. Busco que una letra quede con números opuestos (y sumo) o iguales (y resto), usando un múltiplo común de sus coeficientes.