Zine de geometríaMatemática · 2.º año
¿Cuánto te ahorrás si cruzás en diagonal?
Hay una idea de hace miles de años que lo responde sin estirar una cinta métrica. Habla de un triángulo con una esquina recta y de tres cuadrados. Con ella vas a calcular escaleras, pantallas, canchas y atajos.
La pregunta de la plaza
La plaza es un cuadrado de 100 m de lado. Para llegar a la esquina de enfrente por la vereda caminás 100 + 100 = 200 m. ¿Cuánto mide la diagonal? Apostá antes de seguir:
La esquina que manda
Todo empieza con una esquina recta, como la de una hoja, una baldosa o la plaza. Un triángulo que tiene un ángulo recto (de 90°) se llama triángulo rectángulo, y sus lados tienen nombre propio.
Catetos: son los dos lados que forman el ángulo recto. En esta clase los llamamos a y b.
Hipotenusa: es el lado que queda enfrente del ángulo recto, el único que no lo toca. La llamamos h.
¿Por qué la hipotenusa es siempre el lado más largo?
Los tres ángulos de un triángulo suman 180°. Si uno ya ocupa 90°, los otros dos se reparten los 90° que quedan, así que los dos son agudos. El recto es el ángulo más grande, y en todo triángulo enfrente del ángulo más grande está el lado más largo.
Ojo: la hipotenusa no siempre está abajo ni es siempre «la inclinada». El método que nunca falla: buscá el cuadradito y mirá enfrente.
Encontrá la hipotenusa
En cada triángulo, tocá la letra del lado que es la hipotenusa.
Respuestas: triángulo 1 → t · triángulo 2 → s · triángulo 3 → r.
Tres cuadrados y una igualdad
Ahora, la idea genial: sobre cada lado del triángulo se construye un cuadrado. El área de un cuadrado es lado por lado; uno de lado 3 tiene 3 · 3 = 9 cuadraditos. Por eso 3² se lee «tres al cuadrado»: es el área de un cuadrado de lado 3.
El teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
a² + b² = h²
En algunos libros vas a ver a² + b² = c². Cambian las letras, no la idea: la hipotenusa queda sola de un lado del igual.
Movelo vos: el laboratorio de cuadrados
Cambiá los catetos y mirá el cuadrado rosa: siempre ocupa lo mismo que el azul y el amarillo juntos. Misión: con catetos de hasta 12 hay 4 triángulos con los tres lados enteros. Ya tenés uno; encontrá los otros 3.
a² + b² = h²
3² + 4² = h²
9 + 16 = 25
h = √25 = 5
Raíz exacta: los tres lados son enteros
Rodeando por los catetos: 3 + 4 = 7Derecho por la hipotenusa: 5
Ternas encontradas: 1 de 4
- 3-4-5
- ?-?-?
- ?-?-?
- ?-?-?
Pista: probá con el doble de 3 y el doble de 4.
Las cuatro, con catetos de hasta 12: 3-4-5, 6-8-10, 9-12-15 y 5-12-13.
¿Por qué vale siempre? La prueba de las cuatro piezas
Probar con algunos triángulos no alcanza: hay que mostrar que vale para todos. Esta prueba no usa cuentas, solo cuatro piezas iguales dentro de un marco. Avanzá paso a paso.
Paso 1 de 6 · catetos 3 y 4
Cuatro triángulos iguales, de catetos a y b, entran justo en un marco cuadrado de lado a + b. El hueco del medio es un cuadrado de lado h: su área es h².
¿Seguro que el hueco del medio es un cuadrado?
Sus cuatro lados son hipotenusas: miden lo mismo. Y en cada punto del borde donde se tocan dos piezas se juntan tres ángulos que forman una línea recta (180°): los dos agudos del triángulo, que suman 90°, y la esquina del hueco, a la que le quedan justo 90°.
Hacer la cuenta (sin pifiarla)
El teorema es una igualdad entre tres números. Si conocés dos lados de un triángulo rectángulo, podés averiguar el tercero. Hay dos casos.
Caso 1 · Busco la hipotenusa
h = √a² + b²
Elevo cada cateto al cuadrado, los sumo y saco la raíz cuadrada.
Ejemplo 1
Los catetos miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
- h² = 6² + 8²Escribo el teorema con los datos.
- h² = 36 + 646² es 6 · 6 = 36, no 6 · 2. Elevar al cuadrado es multiplicar el número por sí mismo.
- h² = 100Esto es el área del cuadrado rosa, todavía no el lado.
- h = √100 = 10El lado es √100, porque 10 · 10 = 100.
La hipotenusa mide 10 cm. Control: 10 es más que 8 (la hipotenusa es la más larga) y menos que 6 + 8 = 14. Cierra.
Raíces exactas y raíces inexactas
La raíz cuadrada responde una pregunta: ¿qué número multiplicado por sí mismo da esto? Si el número es un cuadrado perfecto, la raíz es exacta. Conviene tener a mano los primeros:
- 1²1
- 2²4
- 3²9
- 4²16
- 5²25
- 6²36
- 7²49
- 8²64
- 9²81
- 10²100
- 11²121
- 12²144
- 13²169
- 14²196
- 15²225
Si un número natural no es cuadrado perfecto, como 50, su raíz es inexacta: tiene infinitos decimales, así que la aproximamos. Primero ubicala entre dos enteros; después usá la calculadora.
Con el celular: buscá la tecla √ en la calculadora (a veces aparece al girar el teléfono). Probá con √49: si da 7, ya sabés usarla. Si muestra 7.07 con punto, es lo mismo que 7,07. El signo ≈ se lee «aproximadamente».
Ejemplo 2 · La pregunta de la plaza
La plaza es un cuadrado de 100 m de lado. ¿Cuánto mide la diagonal?
La diagonal parte la plaza en dos triángulos rectángulos: los lados de la plaza son los catetos.
- h² = 100² + 100²Los dos catetos miden 100 m.
- h² = 10.000 + 10.000 = 20.000100 · 100 = 10.000.
- h = √20.000 ≈ 141,42Inexacta: como 141² = 19.881 y 142² = 20.164, está entre 141 y 142. La calculadora da 141,421…
La diagonal mide unos 141 m. Por la vereda son 200 m: cruzando te ahorrás casi 59 m.
Caso 2 · Busco un cateto
a = √h² − b²
Al cuadrado de la hipotenusa le resto el cuadrado del cateto que conozco, y saco la raíz. Es despejar: en a² + b² = h², el b² que suma pasa restando. Con los cuadrados: al rosa, el más grande, le sacás el que conocés.
Ejemplo 3 · La escalera
Una escalera de 2,5 m está apoyada en una pared, con el pie a 0,7 m de la pared. ¿A qué altura toca la pared?
- a² + 0,7² = 2,5²La escalera es la hipotenusa: está enfrente del ángulo recto entre pared y piso.
- a² = 2,5² − 0,7²Busco un cateto, así que resto: siempre el cuadrado grande menos el chico.
- a² = 6,25 − 0,49 = 5,762,5 · 2,5 = 6,25 y 0,7 · 0,7 = 0,49.
- a = √5,76 = 2,4Es exacta: 2,4 · 2,4 = 5,76.
Toca la pared a 2,4 m de altura. Control: 2,4 es menos que 2,5, como debe ser en un cateto.
Cinco errores que conviene desarmar
«Los catetos miden 3 y 4, así que la hipotenusa mide 3 + 4 = 7.»
Sumó los lados. El teorema suma áreas, no lados; además, ir derecho siempre es más corto que dar la vuelta. Lo correcto: √(9 + 16) = 5. Y la raíz no se reparte: √9 + √16 vuelve a dar 7, que está mal.
«h² = 25, así que h = 25.»
Se olvidó la raíz. 25 es el área del cuadrado rosa (25 cuadraditos), no su lado. El lado es √25 = 5.
«Un cateto mide 5 y la hipotenusa, 13. Calculo √(5² + 13²) ≈ 13,93.»
Usó la hipotenusa como cateto. Marcala antes de calcular. Alarma: un cateto nunca da más que la hipotenusa. Lo correcto: √(169 − 25) = 12.
«Busco el cateto: 5² − 13² = −144.»
Restó al revés. Siempre va hipotenusa² menos cateto²: 169 − 25 = 144. Un área nunca puede ser negativa.
«Dos lados de este triángulo miden 4 y 5, así que el otro mide √(16 + 25).»
Lo usó sin ángulo recto. Pitágoras solo vale en triángulos rectángulos: si el enunciado no lo dice o el dibujo no marca el cuadradito, no lo uses. Para los demás triángulos hay otras herramientas, que vas a ver más adelante.
¿Es recto? El truco del albañil
El teorema también funciona al revés, y eso se llama recíproco: si los tres lados cumplen a² + b² = h² (con h el más largo), el triángulo es rectángulo. No hace falta transportador.
Así «sacan escuadra» los albañiles: desde la esquina miden 3 m sobre un hilo y 4 m sobre el otro, y mueven el segundo hilo hasta que entre las marcas haya justo 5 m. Como 3² + 4² = 5², la esquina queda a 90°. En trabajos chicos usan 60, 80 y 100 cm.
Sacá escuadra vos
Mové la estaca con «Cerrar» y «Abrir» hasta que la cinta marque justo 5 m.
Cinta: 4,29 m
La cinta marca menos de 5 m: la esquina quedó cerrada (ángulo agudo). Abrí un poco.
3² + 4² = 25 y cinta² ≈ 18,4: menos que 25.
Si no da igual, el ángulo te avisa
Compará el cuadrado del lado más largo con la suma de los cuadrados de los otros dos:
- h² = a² + b²: ángulo recto, triángulo rectángulo.
- h² > a² + b²: el lado largo «se estiró» y el ángulo de enfrente se abrió (obtusángulo).
- h² < a² + b²: el ángulo de enfrente se cerró (acutángulo).
Ternas pitagóricas
Tres números naturales que cumplen a² + b² = h² forman una terna pitagórica. Hay infinitas, pero escondidas: con catetos de hasta 12 aparecen solo cuatro. Las más usadas:
- 3-4-59 + 16 = 25
- 5-12-1325 + 144 = 169
- 8-15-1764 + 225 = 289
- 7-24-2549 + 576 = 625
Si multiplicás los tres números de una terna por el mismo número natural, sale otra: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50… Es el mismo triángulo agrandado: si los lados se duplican, cada cuadrado se cuadruplica, y 9 + 16 = 25 pasa a ser 36 + 64 = 100.
Pitágoras sale a la calle
Donde hay una esquina recta y una distancia en diagonal, hay un triángulo rectángulo escondido. El truco es encontrar los catetos y la hipotenusa.
El dron del barrio
Imaginá un barrio de manzanas cuadradas, con cuadras de 100 m. Caminando seguís las calles; un dron vuela derecho. Elegí adónde ir desde tu casa (abajo a la izquierda):
Caminando: 4 + 3 = 7 cuadras, o sea 700 m.
En dron: 4² + 3² = 25 y √25 = 5 cuadras, o sea 500 m.
El dron se ahorra 200 m.
Caminando y en dron: club, 700 m y 500 m · kiosco, 700 m y unos 539 m · plaza, 800 m y unos 566 m · escuela, 1.400 m y 1.000 m.
¿32 pulgadas de qué?
Las pulgadas de una tele o de un celular miden la diagonal de la pantalla. Una pulgada son 2,54 cm.
- h² = 71² + 40²El ancho y el alto son los catetos.
- h² = 5.041 + 1.600 = 6.641Elevo cada uno al cuadrado y sumo.
- h = √6.641 ≈ 81,5 cmRaíz inexacta: uso la calculadora.
- 81,5 ÷ 2,54 ≈ 32,1Paso de centímetros a pulgadas: divido por 2,54.
Es una tele de 32 pulgadas.
La cancha de punta a punta
Muchos estadios tienen canchas de 105 m de largo y 68 m de ancho. ¿Qué distancia hay de un córner al córner opuesto? Calculala antes de mirar.
Ver la cuenta
h² = 105² + 68² = 11.025 + 4.624 = 15.649
h = √15.649 ≈ 125,1 m
Unos 125 m: 20 m más que el largo de la cancha.
Tu turno
Once consignas, de menor a mayor dificultad. Si te equivocás, la pista te dice dónde mirar. Resueltas: 0 de 11
1 · Verdadero o falso, con justificación
«Si los catetos miden 3 cm y 4 cm, la hipotenusa mide 7 cm». ¿Qué respuesta es correcta?
2 · Calculá la hipotenusa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
3 · Calculá un cateto
La hipotenusa mide 13 m y un cateto mide 5 m. ¿Cuánto mide el otro cateto?
4 · Elegí
¿Entre qué números enteros está √40?
5 · Raíz inexacta
Los catetos miden 2 m y 3 m. Calculá la hipotenusa con calculadora y redondeá a dos decimales.
6 · Completá las ternas pitagóricas
8, 15 y
6, y 10
, 12 y 13
7 · Clasificá
Estos son los lados de cuatro triángulos (en cm). Compará el cuadrado del lado más largo con la suma de los otros dos cuadrados: ¿el ángulo de enfrente es recto, agudo u obtuso?
5, 12 y 13
4, 5 y 6
2, 3 y 4
20, 21 y 29
8 · Ordená
Tocá los pasos en el orden correcto para calcular un cateto.
9 · Problema: la escalera
Una escalera de 3,4 m está apoyada contra una pared y su pie está a 1,6 m de la pared. ¿A qué altura toca la pared?
10 · Problema: la tele
Una pantalla mide 89 cm de ancho y 50 cm de alto. ¿De cuántas pulgadas es? (1 pulgada = 2,54 cm; redondeá al entero.)
11 · Desafío final
Lucía es maestra mayor de obras y quiere sacar escuadra en una esquina. Marca 1,2 m sobre un hilo y 1,6 m sobre el otro, y la distancia entre las marcas le da 2,05 m. ¿Qué le conviene hacer?
Respuestas de «Tu turno» (mirá después de intentar)
- Falso: mide 5 cm (9 + 16 = 25 y √25 = 5).
- 15 cm (81 + 144 = 225 y √225 = 15).
- 12 m (169 − 25 = 144 y √144 = 12).
- Entre 6 y 7, porque 36 < 40 < 49.
- Unos 3,61 m (4 + 9 = 13 y √13 ≈ 3,61).
- 17 · 8 · 5.
- 5-12-13: recto · 4-5-6: agudo · 2-3-4: obtuso · 20-21-29: recto.
- Identifico la hipotenusa → elevo al cuadrado → resto → saco la raíz → controlo.
- 3 m (11,56 − 2,56 = 9 y √9 = 3).
- 40 pulgadas (√10.421 ≈ 102,1 cm; ÷ 2,54 ≈ 40,2).
- Debería medir 2 m (1,44 + 2,56 = 4): la esquina quedó abierta y hay que cerrarla.
El machete (legal)
- Hipotenusa
- El lado enfrente del ángulo recto. Siempre es el más largo.
- Teorema
- a² + b² = h²: los cuadrados de los catetos juntos ocupan lo mismo que el de la hipotenusa.
- Busco h
- Sumo los cuadrados de los catetos y saco la raíz.
- Busco un cateto
- Al cuadrado de la hipotenusa le resto el del otro cateto, y saco la raíz.
- ¿Es rectángulo?
- Comparo h² con a² + b². Igual: recto. Mayor: obtuso. Menor: agudo.
- Ternas
- 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 y sus múltiplos.
- Controles
- Cada cateto < h < a + b. Si no se cumple, revisá.
Respondé sin mirar
1. ¿Cómo encontrás la hipotenusa si el triángulo está girado?
Busco el cuadradito del ángulo recto y miro el lado de enfrente, el único que no lo toca (y el más largo).
2. ¿Por qué el teorema habla de cuadrados?
Porque compara áreas: el cuadrado de la hipotenusa ocupa lo mismo que los cuadrados de los dos catetos juntos.
3. Los catetos miden 5 y 12. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
13, porque 25 + 144 = 169 y √169 = 13.
4. ¿Cómo sabe un albañil si una esquina está a escuadra?
Marca 3 m y 4 m sobre los lados: si entre las marcas hay justo 5 m, el ángulo es recto.
5. Al buscar un cateto, ¿por qué se hace h² − b² y no al revés?
Porque el cuadrado de la hipotenusa es el más grande. Al revés da negativo, y un área no puede ser negativa.